Een dynamische systeem.

In ons voorbeeld volgen we het gedrag (de vaarsnelheid ) van een marinefregat.

Gegevens zijn:

De massa van het fregat is kg.

Een varend fregat ondervindt een wrijvingskracht de evenredig is met het kwadraat van de vaarsnelheid.

Voor dit fregat is de evenredigheidsconstante bepaald op 2670 bij vooruit varen. Bij achteruit varen verdubbeld de evenredigheidsconstante.

De snelheid van het fregat wordt bepaald door twee krachten. De stuwkracht van de schroeven, die bepaald wordt door het vermogen dat de motor levert. En de wrijvingskracht van het water bij een bepaalde vaarsnelheid.

De maximale stuwkracht die geleverd kan worden is 600.000 N.

In de figuur zie je een fregat schematisch getekend dat voorwaarts vaart, terwijl de motor ook in voorwaartse richting het schip voortstuwt.

Hulpregels:

Voor bewegingsformules geldt:

De afgelegde afstand is een functie van de tijd. S(t).

De snelheid is de afgeleide van S(t).

De versnelling is de afgeleide van de snelheidsfunctie en dus de tweede afgeleide van S(t)

De versnelling is ook evenredig met de resulterende kracht.

Hier geldt dus:

Volgens bovenstaande geldt:

We kunnen nu een differentiaal vergelijking opstellen:

Vraag 1:

Als het fregat van uit stilstand vertrekt met de motoren op halve kracht, wat wordt dan de vaarsnelheid?

Oplossing:

Hoe sneller het schip gaat hoe kleiner de snelheidstoename (de versnelling) wordt.

Totdat de snelheidstoename nul is geworden. Het schip heeft dan zo’n grote snelheid gekregen dat de wrijvingskracht en de motorkracht samen nul zijn. Zie grafiek.

 

De uiteindelijke vaarsnelheid kunnen we nu uitrekenen door 

 Antwoord: v = 10,600 m/s = 20,604 kts. (NM/uur)

Vraag 2:

Bereken de maximale snelheid die het schip krijgt bij vol motorvermogen.

Vraag 3:

Bij omgekeerd draaien van de schroeven wordt een kracht geleverd van 65% van de voorwaartse stuwkracht. Bereken de maximale snelheid bij achteruit varen.

(16,6 kts)

Vraag 4 .

Om af te remmen moet de motor in achteruit worden gezet. Maak een schematische tekening van het schip, als het schip vooruit vaart, met de motor in de achteruit. Uiteindelijk zal het schip tot stilstand komen. De afstand die het schip in deze toestand aflegt heet de remweg. Bij omgekeerd draaien van de schroeven wordt een kracht geleverd van 85% van de voorwaartse stuwkracht. Bereken de tijd die het schip nodig heeft om tot stilstand te komen.

Vraag 5.

Wat is de maximale snelheid bij achteruit varen.

Vraag 6.

Maak een schematische tekening van het schip, als het schip vooruit vaart, terwijl de motor uit wordt gezet. Uiteindelijk zal het schip bijna tot stilstand komen (1 kts). De afstand die het schip in deze toestand aflegt heet de uitloopweg. Bereken de uitlooptijd als de snelheid 20 kts is.