Vakgebied: Wiskunde, of natuurkunde.

In deze opgave gaan we rekenen in gelijkvormige driehoeken.
Doel: Het ontwikkelen van een methode om via een meetkundige constructie van twee parallelgeschakelde (elektrische) weerstanden, de vervangingsweerstand te bepalen.

Uitgangspunt: Teken de volgende figuur. (Volg de aanwijzingen.)

1) Teken een horizontaal lijnstuk AB van ongeveer 8 cm. (De lengte is niet echt belangrijk.)
2) Zorg ervoor dat boven het lijnstuk wat ruimte is.
3) Richt in punt A een lijnstuk op van (voorlopig) een willekeurige lengte, dat loodrecht staat op AB. Noem dit lijnstuk AE.
4) Richt in punt B een lijnstuk op van (voorlopig) een willekeurige lengte, dat loodrecht staat op AB. Noem dit lijnstuk BD.
5) Trek nu de lijnstukken EB en AD. Deze lijnstukken snijden elkaar in F.
6) Laat vanuit F een lijnstuk loodrecht neer op AB. Noem het voetpunt van deze loodlijn G.
7) Kies nu de volgende waarden: AE = a, BD = b, FG = x, AG = p en GB = q.
8) Nu geldt ook dat: AB = p+q.

In deze figuur gaan we aan de hand van gelijkvormige driehoeken rekenen met gelijke verhoudingen.

9) Welke driehoek is gelijkvormig met driehoek ABE?
10) Nu geldt de evenredigheid: a : (p+q) = x : q.
11) Deze evenredigheid is om te zetten tot: 1/a = q/{x(p+q)}
12) Welke driehoek is gelijkvormig met driehoek ABD?
13) Nu geldt de evenredigheid: b : (p+q) = x : p.
14) Deze evenredigheid is om te zetten tot: 1/b = p/{x(p+q)}
15) De vormen bij 3 en 4 kunnen we optellen.
16) We krijgen nu: 1/a + 1/b = q/{x(p+q)} + p/{x(p+q)}
17) Als je dit schrijft als breuken met een horizontale breukstreep zie je dat de breuken achter het =-teken gelijknamig zijn. Die breuken kun je optellen door de tellers op te tellen.
18) Je vindt nu: 1/a + 1/b = (p+q)/{x(p+q)}
19) Omdat p+q ongelijk nul is, mag je de factor (p+q) in de breuk weg delen.
20) Je houdt dan over: 1/a + 1/b = 1/x.
21) Hierin kunnen a en b twee parallel geschakelde weerstanden zijn en x de vervangingsweerstand.

Nu de opgave.
Gegeven: Twee parallel geschakelde weerstanden R1 en R2.
R1 = 450 ohm en R2 = 680 ohm.
Gevraagd: Bepaal m.b.v. een constructie de vervangingsweerstand x.

Werkwijze:
1) Kies een schaal om de weerstandgrootte in de constructie als een lengte van een lijnstuk weer te geven.
2) Bijvoorbeeld: 100 ohm komt overeen met 1 cm.
3) Teken nu een willekeurig horizontaal lijnstuk AB.
4) Teken nu twee loodlijnstukken op AB, één in A en één in B.
5) Zorg dat de lengtes van deze loodlijnstukken 4,5 cm en 6,8 cm zijn.
6) Noem de loodlijnstukken AE en BD.
7) Trek nu de lijnstukken AD en BE. Deze lijnstukken snijden elkaar in F.
8) Laat nu een loodlijn van uit F neer op AB. Noem het voetpunt G.
9) De lengte van lijnstuk FG komt overeen met de grootte van de vervangingsweerstand x.
10) Meet deze lengte. Wat is nu de grootte van de vervangingsweerstand?
11) x = 248 ohm.
12) Opmerking: Deze constructie is in beginsel ook te gebruiken als vervanging voor een lenzenformule.
13) Kies een voorwerpsafstand van 14 cm en een brandpuntsafstand van 8 cm en construeer met bovenstaande constructie de beeldsafstand.
14) Opmerking: Er is ook een constructie in de optica waarmee je de beeldsafstand kunt bepalen. Ga na of deze constructie hetzelfde resultaat geeft.