Figuren van Lissajous met baansnelheden en lengte.

We krijgen hierna twee vraagstukken.

I. In dit vraagstuk gaat het om de plaats van een aantal bijzondere punten van een Lissajouskromme en de daarbij behorende baansnelheden.
II. In dit vraagstuk laten we ook zien dat sommige lissajouskrommen te beschrijven zijn met een functievoorschrift:

Daarna bepalen we de lengte van de kromme.

Opmerking: In deze vraagstukken is de lengte-eenheid de centimeter en de tijdseenheid de seconde.

Opgave I.

We gaan het hebben over de baan die een punt  (x, y)  maakt, als dat punt aan twee trillingen tegelijk deel neemt.
We kiezen hiervoor twee trillingen waarvan de trillingsrichtingen loodrecht op elkaar staan. Één in de x-as richting en één in de y-as richting. .

De uitwijking van het punt dat deelneemt aan de trilling in de x-as richting geven we met:

 
De uitwijking van het punt dat deelneemt aan de trilling in de y-as richting geven we met:

: .

Kies voor de parameter t het interval

a) Laat de kromme die het punt beschrijft op de GR tekenen. Kies op de GR het instellingstype: parameterkrommen. Immers je kunt de getallen x en y beschouwen als coördinaten (x, y) die d.m.v. goniometrische functies met een parameter t “bestuurd” worden.


b) Als de kromme door de x-as gaat, dan geldt y = 0. Bereken hiermee eerst t en vervolgens de coördinaten van de doorgangen A en B van de kromme door de x-as.
Antwoord: Een doorgang heeft:

    

De andere doorgang is …..  (Je ziet in de figuur de kromme getekend voor:

 

Bereken de coördinaten van de toppen in verticale richting.

Dus bij de maximumwaarde y = 1, of minimumwaarde y = -1.

Noem de toppen bij y = 1, C, D, en E en bij y = -1, F, G en H.

 of

 

 

De eerste keer dat y maximaal wordt, ontstaat als

 . (zie figuur,)

.

Wat zijn de coördinaten van D, E, F, G en H?

 

 Bereken de coördinaten van de toppen in horizontale richting, Dus bij een maximumwaarde, of minimumwaarde voor x. Noem de toppen K, L, M en N. .

Op analoge wijze wordt D berekend, maar nu is het uitgangspunt:

 

  
Wat zijn de coördinaten L, M en N? .

Bereken de baansnelheid in de twee toppen uit het eerste kwadrant. Als het goed is gegaan hebben deze toppen de namen C en K. .

1. De snelheid in de x-as richting berekenen we met:

  Waarom?
2. Bij punt C wordt dit:

 
3. De snelheid in de y-as richting berekenen we met:

 , Waarom?
4. Bij punt K wordt dit:



Bereken nu de baansnelheid in A en in B. (volg de berekening) .

Nogmaals:

 
De eerste doorgang was punt A:


We  hebben nu twee snelheidscomponenten uitgerekend die we met een parallellogram van vectoren  (in dit geval een rechthoek) kunnen samenstellen.

  

 

Kun je de vormen

vereenvoudigen? Hoe moet je dan de waarden van t kiezen om minimaal een volledige kromme te krijgen?

Opgave II.

Een punt zit in een baan die te beschrijven is met twee trillingen loodrecht op elkaar.
Één in de x-as richting en één in de y-as richting, waaraan het punt tegelijk deelneemt. .

  

  

a)      laat deze kromme tekenen op de GR.

b)      Je kunt nu het vermoeden hebben, dat de kromme ook te beschrijven is met een functie waarin y een derdegraads functie is van x. Waarom?

c)       Algemene vorm:

d)     Probeer op analytische wijze de waarden a, b, c en d te . te bepalen

Oplossing:

 “We pakken de ingewikkeldste vorm meestal eerst aan”.

 Bij

 

willen we nu de 3t “uit elkaar gooien”.










 

Controleer het resultaat, door

   ook op de GR te laten tekenen. Wat zie je?
Als we nu onze Lissajouskromme willen beschrijven met

 , wat moet dan het domein van deze functie zijn?

Op je formulekaart vind je een formule voor de lengt van een kromme die beschreven wordt door een functie f(x) = y. Zoek deze formule op.
e) We bepalen:


 
Invullen geeft:
Lengte is de bepaalde integraal van:

 

e)      De integraal die nu ontstaat, is erg lastig analytisch te bepalen. Daarom bepalen we deze met de GR.
5. Laat de GR de grafiek tekenen en bepaal met de GR de integraal.

De lengte van de Lissajouskromme is bij benadering 6,519 cm.

f) Opmerking: Schrijf alle hulpformules die je in deze uitwerking bent tegen gekomen nog even apart op.