Een ander vraagstuk kiezen, ga terug naar "Voorbeeld opgaven".

Recursieve formules.(Niveau: V.W.O 6 wisk. B)
Een voorbeeld waarin o.a. de Contractie Stelling aan de orde komt.
De beste manier om onderstaande te volgen is de opdrachten zelf goed uit te voeren.

Gegeven is de recursie met de termen U(n):
U(n+1) = 0,25(U(n))^2 - 1,5U(n) + 2,25.
U(0) = c.

a)Kies U(0) = -1, U(0) = 7, U(0) = 10, U(0) = -5 en bekijk de reeks.
Wat merk je op?

b)Kies U(0) = 1, U(0) = 5, U(0) = 9, U(0) = -3 en bekijk de reeks.
Wat merk je op?

c)Teken de grafieken van: y = 0,25 x^2 – 1,5 x +2,25 en y = x.
Kies als assenstelsel [-4,10]x[-1,10].
Waarom zijn de punten (1, 1), (3; 0), (5, 1) en (9, 9) bijzondere punten?

d)Kijk m.b.v. de G.R. of er sprake is van convergentie als je U(0) als volgt kiest.
U(0) behoort tot <1, 9>, U(0) behoort tot <9,--> >, U(0) behoort tot <-3, 1>, of U(0) behoort tot < <--, -3>.

e)Kies uit elk van de genoemde intervallen bij d) een getal als startterm U(0). En tekenen in een webfiguur de reeksontwikkelingen van vraag d).

f) Er zitten twee dekpunten in de webfiguur die horen bij de gegeven recursie. Wat is het verschil in eigenschap van deze dekpunten?

Maak de volgende hulpfiguur:
1.Teken een x-as.
2.Teken boven deze x-as een lijn met richtingscoëfficiënt r.c. = 1.
3.Teken ook een lijn. Maar nu met r.c. = -0,5. De lijnen moeten elkaar ruim boven de x-as snijden.
4.Beschouw de lijn met r.c. = -0,5 als een lijn die hoort bij een recursieve formule. Je kunt nu gemakkelijk in deze figuur een reeks tekenen die door een recursie wordt beschreven. Is deze reeks divergerend, of convergerend?
5.Noem de x-coördinaat van het dekpunt d.
6.Kies een willekeurige startwaarde x(0) en teken een stukje van de webfiguur, zodat je x(1) vindt. Teken de afstanden | x(0) – d| en |x(1) – d| op de x-as.
7.Waarom geldt nu: | x(1) – d| <|x(0) – d|?
8.Leg nu uit waarom bij een convergerende reeks van x(n) voor elke twee elkaar opvolgende termen geldt dat: |x(n+1) – d| < |x(n) – d|. Deze regel heet de convergentie stelling.

g)We gaan deze convergentie regel toepassen op onze recursieve reeks U(n).

1.Hier geldt: d = 1. We kiezen U(n) = x. Nu is U(n+1) = f(x)
2.Als de reeks nu recursief is, dan moet dus gelden: | U(n+1) – 1| < |U(n) – 1|, of |f(x) – 1| < |x – 1|, of |(f(x) – 1) /(x – 1)|< 1.

3.We vullen nu de recursieformule in:

|(0,25 x^2 – 1,5 x +2,25 – 1) /(x – 1)|< 1.
|(0,25 x^2 – 1,5 x +1,25) /(x – 1)|< 1
|(0,25( x^2 – 6 x +5) /(x – 1)|< 1
|(0,25( x–1)( x-5) /(x – 1)|< 1

Als nu geldt: x is niet gelijk aan 1, dan ook:
|0,25( x-5)|< 1
Werk de hierboven beschreven bewerking zelf ook even uit op papier.

Deze modulusvergelijking lossen we als volgt op:

1e Als x > 5 dan: 0,25( x-5)< 1 en dus x < 9. (I)
2e Als x < 5 dan: -0,25( x-5)< 1 en dus x > 1. (II)
De oplossingsverzameling is dus: x behoort tot <1, 9>

h)De oplossingsverzameling <1, 9> hoort bij het omsloten gebied van de grafieken uit c.
Dus elke x die hoort bij het omsloten gebied, kan als startwaarde worden gebruikt voor een convergerende reeks.

i)Maar is het omgekeerde nu ook waar? Als je een convergerende reeks hebt moet dan de startwaarde x een coördinaat zijn die hoort bij het omsloten gebied?

j)Het antwoord op vraag i) is nee! Voor motivatie beschouw je het tegenvoorbeeld van de reeks met startwaarde x = -1. Vraag: “Heeft deze reeks dan niets te maken met het omsloten gebied?”.

k)Regel: Er kan bij een recursieve reeks van een hogere macht, waarbij er spake is van een omsloten gebied, convergentie zijn. Er zijn in zo'n reeks dan altijd termen die in de webfiguur horen bij het omsloten gebied.
Het omsloten gebied wordt bepaald door: |(f(x) – d) /(x – d)|< 1.
De reeks convergeert naar d toe.

l)Kies nu nog eens even een andere recursie.

U(n+1) = U(n)^2 - 6 U(n) + 6
U(0) = c

Teken de grafieken van f(x) = x^2 - 6x +6 en y = x.

Je kunt nu vermoeden dat (1, 1) een dekpunt is waar reeksen naar toe convergeren. Waarom klopt dit niet?

m)Teken door (1, 1) ook nog een lijn met r.c.= -1. Kleur het gebied waarin de grafiek van f(x) moet liggen om een convergerende reeks te krijgen.

Als je al deze vragen hebt gemaakt en begrepen dan heb je "HET GESNAPT".

Een ander vraagstuk kiezen, ga terug naar "Voorbeeld opgaven".