Een raaklijn aan een kromme.

 
 


Hiernaast zie de grafieken van twee

 functies.

De rode:

De blauwe:

We gaan nu eerst eens even kijken

 hoe de rode grafiek er precies uitziet.

Daartoe gaan we een klein

 onderzoekje doen op het

functievoorschrift van f. 

In zo’n onderzoekje komen de volgende

vragen aan de orde:

1.      Heeft de grafiek asymptoten? (horizontaal, of vertikaal)

2.      Gaat de grafiek door de x-as en door de y-as? (waar liggen deze snijpunten?)

3.      Heeft de grafiek toppen?

Verticale asymptoten vind je bij deze gebroken functie door na te gaan waar de noemer van de functie nul wordt.

-4=0 (x-2)(x+2) = 0 x=-2 of x=2.

De vergelijkingen van de verticale asymptoten zijn dus: .

Snijpunten met de x-as vind je door het functie voorschrift op nul te stellen.

Pas nu de eigenschap toe: “Beuk  =  0, als teller = 0 (en noemer ≠ 0)”.

 Dus snijpunt x-as: (4, 0).

Snijpunten met de x-as vind je door x = 0 te kiezen.

    Dus snijpunt y-as is (0, 1).

Toppen vind je door de afgeleiden op nul te stellen. Ook hier is het voldoenden om alleen de teller van de afgeleide op nul te stellen.

De afgeleide bepalen we met de quotiëntregel.

We kiezen nu:   = 0

Top 1: (

De grafiek geeft de indruk, dat de lijn door (0, 1) en (4, 0) de raaklijn aan de grafiek van f is.

Om dit te analytisch te controleren wordt hier de volgende berekening gegeven.

1.      We bepalen de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f.

2.      En we controleren of deze door (4, 0) gaat.

Voor het bepalen van vergelijking van de raaklijn ben je 2 gegevens nodig.

1.      Een punt waar de raaklijn door gaat. Hier is dat:  (0, 1)

2.      De richting, of richtingsquotiënt van de raaklijn. Hier is dat:  f’(0).

Deze lijn gaat inderdaad door (4, 0), als je deze coördinaten invult krijg je een ware bewering.